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Análisis Matemático 66
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GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Calcule los siguientes límites
e) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{3}+1}-x}{x+5}$
e) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{3}+1}-x}{x+5}$
Respuesta
Al igual que en el item anterior tenemos una indeterminación "infinito menos infinito". Arrancamos multiplicando y dividiendo por el conjugado:
Reportar problema
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{(\sqrt{x^{3}+1}-x)(\sqrt{x^{3}+1}+x)}{(x+5)(\sqrt{x^{3}+1}+x)} $
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{(x+5)(\sqrt{x^{3}+1}+x)} $
Y ahora se viene cuentosa la situación eh, nada que ver con el item anterior (parecían muy iguales eehhh jaja pero no!) Vamos despacito, arrancamos haciendo la distributiva en el denominador:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{x\sqrt{x^{3}+1} + x^2 + 5\sqrt{x^{3}+1} + 5x} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{x\sqrt{x^{3}+1} + x^2 + 5\sqrt{x^{3}+1} + 5x}$
Sacamos factor común $x^3$ adentro de las raíces:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}+1-x^{2}}{x\sqrt{x^{3}(1+\frac{1}{x^{3}})} + x^2 + 5\sqrt{x^{3}(1+\frac{1}{x^{3}})} + 5x} $
Distribuimos las raíces y usando propiedades de potencias nos queda:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3 + 1 - x^2}{x^{\frac{5}{2}}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + x^2 + 5x^{\frac{3}{2}}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + 5x} $
Ahora sacamos factor común "el que manda", que sería $x^3$ en el numerador y $x^{\frac{5}{2}}$ en el denominador:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{x^{\frac{5}{2}}(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{x^2}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{5 x^{3/2}\sqrt{1 + \frac{1}{x^3}}}{x^{\frac{5}{2}}} + \frac{5x}{x^{\frac{5}{2}}})} $
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{x^{\frac{5}{2}}(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + x^{-\frac{1}{2}} + 5x^{-1}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + 5x^{-\frac{3}{2}})} $
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^3(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{x^{\frac{5}{2}}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{5}{x^{\frac{3}{2}}}\right)} $
Ufff, dale que ya casi terminamos. Ahora, de nuevo, por propiedades de potencias nos queda:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}(1 + \frac{1}{x^3} - \frac{1}{x})}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^3}} + \frac{5}{x^{\frac{3}{2}}}\right)} = +\infty $
Problema cuentosísimo si los hay, tranqui que ahora afloja en los próximos 😅 Igual estuvo bueno para seguir optimizando y ganando fluidez en todo lo que es sacar factor común y trabajar con propiedades de potencias.
ExaComunidad
Juan
2 de mayo 21:56
Perfectoo eso lo entendi joya, pero ahora me quede en la parte en la que dice que ahora sacamos fac comun el que manda etc etc, por que luego de cambiar el 5 a 5x elevado a 5/2, luego se vuelve a cambiar a 5 raiz de x elevado solo a 3 + 1 y todo eso sobre x elevado a 5/2? Intente relacionarlo con la primera parte que tambien es un numero con exponente que se multiplica a una raiz pero ahi no hay cambio como en este.
2 respuestas
Juan
2 de mayo 16:04
Consulta, como es el procedimiento en la parte de: Distribuimos las raices y usamos propiedades de potencias? No entiendo como paso de raiz de un numero x elevado a 3 a que el x que multiplica la raiz valga x elevado a 5/2.
Yo lo hice de esta manera que es sacando factor comun x en la raiz y luego reemplazando la raiz cuadrada de x elevado a 3, quedando un x elevado a 1. Ya que el 3 del x dentro de la raiz de simplifica con la raiz de 2. (No se si esto se puede aplicar asi o si me lo invente yo), y me termino dando el mismo resultado. Estará bien o hice algo mal?
1 respuesta
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